儘管在 Petco Park 遭到 Padres 的橫掃，Dodgers 仍然盡力拿下了在 Chase Field 的 series，以 4W5L 的成績結束了這次的 9-game road trip，勉強算是可以接受的結果。以下是本次與 D'Backs 的 series 的一些 summary (Ex_H：Extra Base Hits)：
| Team | Runners | Ex_H | Runs | BABIP |
| Dodgers | 41 | 13 | 17 | 0.273 |
| D'Backs | 55 | 10 | 15 | 0.370 |
發生在 Dodgers 身上的壞事還不少：得不到主審 corner strike 青睞的 Maddux、中彈的 Lowe、著火的 bullpen... 反觀 D'Backs 的運氣則是好得不可思議，Dodgers 被轟的安打真正 hit hard 的並不多，但對手在前兩戰的 BABIP 分別是 .388 與 .385，這簡直是面對一個由 9 個 Ichiro 所組成的 lineup，途中則因為 bullpen 燒乾而使得 Gio Carrara 遭到 released 並由另一個 "washout" RP Hamulack 緊急接替 (Big deal...)，更不用提在第一場 15 局的鏖戰後，D'Backs 接下來兩戰的 SP 是很會吞局數的 Miguel Batista 與 rubber arm -- Livan Hernandez。
在 Jeff Kent 的 clutch solo-HR 下讓 Dodgers 保住了拿下這個 series 的可能性，最後一戰的責任落到了 young Chad Billingsley 的頭上。
Billingsley 在 06 年的前幾次 outing 總是讓教練團坐立難安，他的基本線就是 5-inning、100 pitches、and no more；只是在 All-Star break 後，Billingsley 似乎有越投越有感覺的趨勢 (8 starts, 48 inning pitched, RA 2.43)，根據 D'Backs broadcaster
Thom Brennaman 轉述的故事，Grady Little 對 Billingsley 打了一道雷：
Listen, son. We're not gonna let you pitch 5 innings then burn our bullpen. You can do that in Las Vegas, or you just go out and win everything for us. Your call!
-- Grady Little, Dodgers manager, talk to Chad Billingsley
Brennaman 並不是那種會瞎扯蛋的 broadcaster，但他保有了 west division 大部份 broadcasters 的特色：轉播球賽是一種閒聊，也因此送上了這段頗具娛樂性質的談話。而 Billingsley 在對上 D'Backs 的 rubber game 裡給了 Dodgers 7 solid innings，讓 bullpen 得到了調整，也把 series win 帶給了 Dodgers。別弄錯了，Billingsley 仍然被 D'Backs 敲了 .333 -- bad luck -- 的 BABIP，除了 Gonzo 那支 double，真正被痛打的球其實沒有幾個，加上幾次適時出現的 GIDP，Billingsley 贏得幸運，卻也不是完全僥倖。
然而這場比賽裡有一個很值得玩味的點。
在 Top 5th 的進攻裡，1-0 落後的 Dodgers 由 Ethier 率先攻上 2B，接下來 Betemit 一個 "productive out" (This "epithet"
doesn't make much sense.) 給了 Dodgers 1 out、runner on 3rd 的機會，輪到第八棒的 Martin 打擊。
此時 D'Backs manager Bob Melvin 賞給了 Martin 一個 IBB 使得局勢變成了 1 out, runners on 1st & 3rd，前一次打擊擊出中間方向 blooper single 的 Billingsley 即將上場。想像一下：如果你是 Grady Little，你會怎麼做？
以下是 3 個不同的人的答案：
- I'll let Billingsley swing.
-- Thom Brennaman, D'Backs broadcaster
- I'll let Billingsley bunt.
-- Joe Garagiola, D'Backs broadcaster
- Stand still, and wait for the 3rd strike call.
-- Morikawa, nobody
"Nobody" 的想法很簡單：眼下是一個 potential GIDP situation，如果可以的話，put ball into play、尤其又是輪到最沒有打擊力的投手時，是必須要儘可能避免的。至於要求 Billingsley 把 Martin 給 bunt 到 2nd 的做法則必須考慮失敗的情況：撇開 GIDP，次糟的 failed bunt 可能造成 1st 的 runner 從 Martin 換成了 Billingsley，與其如此，寧願 Billingsley 早點回 dugout 休息並要求下一位打者 Furcal 多玩投手幾個球。
而 Little 的選擇和 Garagiola 相同，他得到一個 successful bunt，然後 Furcal 的 triple 與 Lofton 的 single 讓 Dodgers 以 3-1 超前。整件事看起來像是 Little 的決定 "right on the money"，在此讓我們實際用 ERM (Expected Runs Matrix) 來檢視一下。
以下是 ML 由 1999 ~ 2002 年間的 ERM，由 3 種出局數與 8 種跑者狀況所組成的 24 個 situational expected runs：
| Runner / Out | 0 | 1 | 2 |
| --- | 0.555 | 0.297 | 0.117 |
| 1-- | 0.953 | 0.573 | 0.251 |
| -2- | 1.189 | 0.725 | 0.344 |
| --3 | 1.482 | 0.983 | 0.387 |
| 12- | 1.573 | 0.971 | 0.466 |
| 1-3 | 1.904 | 1.243 | 0.538 |
| -23 | 2.052 | 1.467 | 0.634 |
| 123 | 2.417 | 1.650 | 0.815 |
我找不到 06 年確切的 ERM，也懶得去 retrosheet 爬，原則上年與年間的 EXR (Expected Runs) 的差別不大，將錯就錯吧。
ERM 告訴我們的是當 Billingsley 上場打擊時，Dodgers 的 EXR 大約有 1.243 (由於輪到的是投手打擊，實際上這個數字可能要再下修一點)，考慮以下的情況：
- DP：
Delta_EXR = -1.243
- Bunt successed：
Delta_EXR = 0.634 - 1.243 = -0.609
- Bunt failed：
Delta_EXR = 0.538 - 1.243 = -0.705
- Strike out：
Delta_EXR = 0.538 - 1.243 = -0.705
也就是說，Little 下令 Billingsley bunt 的結果可以比 "nobody" 的決定少丟 0.096 的 EXR。假使不在乎因為 bunt 失敗造成 Billingsley 必須上場跑壘的情況，讓 Billingsley bunt "應該" 是 better option。
但是不能忽略的是一個失敗的 bunt 也可能被 turned to DP，換句話說，考慮下定決心要 Billingsley 執行 bunt 的時候，以 P_bs、P_bdp 與 P_obf 分別代表 "
成功的觸擊"、"
觸擊失敗成為 DP" 與 "
其它形式的觸擊失敗"，整個機率空間 (
probability space) 就可以表示為：
P_bs + P_bdp + P_obf = 1
由於讓 Billingsley 站著等 SO 是不可能出差錯的事，同時 Billingsley 被 SO 之後對 EXR 的影響和 failed bunt 相同。那就是說：當 "決定" 是 let Billingsley bunt 的時候，(-0.705) 就可以當成是這個策略下達的基準點，於是一個成功的 bunt 可以讓 Dodgers 賺進 0.096 的 EXR；bunt 成 DP 則會讓 Dodgers 損失 -0.538 (-1.243 + 0.705) 的 EXR，此時的 break even rate 就可以計算如下：
P_bs * 0.096 + P_bgidp * (-0.538) + P_obf * 0 = 0
( P_bs / P_bdp ) = ~ 5.6
這個結果告訴我們：只要
bunt successfully 的機率為 bunt into DP 的 5.6 倍以上，Little 此次的策略下達就不會賠！
事實上在 00 ~ 05 年間因為 bunt 造成的各種形式的 DP 的機率不大於 3%，那麼 Billingsley 的 bunt successfully rate 只要能
maintain 在 17% 以上，bunt 指令就有其合理的被執行性。
#### Updated at Aug.30, 18:04 ####Walaykao 兄點出了我的疏失：上述的機率空間在計算 bunt successed 的 break even rate 是有問題的，必須考慮的是 bunt into hit 與 bunt into ROE (Reached On Error) 的情況 -- 雖然此二者發生的機會都不高，但是在 EXR 的變化上可能不小，更不用提在計算時是在底限 offset 0.705 的情況下。
先計算一下可能的 EXR 變化：
- Bunt into Infield Hit (P_bs_hit)：
Delta_EXR = 1.650 - 1.243 = 0.407
(Assume the runner on 3rd would be hold.)
- Bunt into ROE I (P_bs_roe_I)：
(Result in error, base loaded)
Delta_EXR = 1.650 - 1.243 = 0.407
- Bunt into ROE II (P_bs_roe_II)：
(Result in error, run allowed and runners on 1st & 2nd)
Delta_EXR = 1 + 0.971 - 1.243 = 0.728
- Bunt into ROE III (P_bs_roe_III)：
(Result in error, run allowed and runners on 1st & 3rd)
Delta_EXR = 1 + 1.243 - 1.243 = 1
- Bunt into ROE IV (P_bs_roe_IV)：
(Result in error, run allowed and runners on 2nd & 3rd)
Delta_EXR = 1 + 1.467 - 1.243 = 1.224
如果將上面這五種情況計入 bunt successed 的 category 裡，仍然以 P_bs 代表其成功的機率，計算 break even rate 的式子就要重新寫為：
(P_bs_hit + P_bs_roe_I) * 1.112 + P_bs_roe_II * 1.433 + P_bs_roe_III * 1.705 + P_bs_roe_IV * 1.929 + P_bs_o * 0.096 + P_bgidp * (-0.538) + P_obf * 0 = 0
Where P_bs_o = P_bs - (P_bs_hit + P_bs_roe_I + P_bs_roe_II + P_bs_roe_III + P_bs_roe_IV)
補上的 new categories 在 weight 方面都比較大，可預期的是 Billingsley 的 bunt 不需要 maintain 到 17% 的 successful rate 就可以達到 break even。
但機率空間在這樣的修正下究竟能改變多少？會不會從 17% 一下子掉到 10% 或更低呢？從數字面看來應該是不至於，在 ML 的比賽裡，put ball into play 所造成的 ROE per PA 大約在 1%，執行 bunt 的結果一旦發生 ROE 當然也會計在那 1% 裡頭。換句話說，那些 P_bs_roe* 的總和大約也會在 1% 上下跳動，如果再考慮 bunt into hit 的可能性，總的來說，17% 的 break even rate 差不多可以下修 3% ~ 4%。
#### End of Update ####有興趣的朋友不妨可以算算看如果讓 Billingsley swing，在可能造成 DP 的情況下，擊出安打的 rate 大約要 maintain 到多少才足夠 break even。
另一個角度則是 Bob Melvin 選擇對 Martin IBB -- 將 Dodgers 的 EXR 增加了 0.26 分 (1.243 - 0.983) 是比較令人不解的事，當時 D'Backs 的確只有領先 1 分，但 Top 5th、1 out、RD (run differential) = 1 並不是什麼 very high leverage situation，Melvin 如果選擇讓 Livan 直接和 Martin 對決，Dodgers 在 top 5th 的進攻也許僅能以 1 分做收，Livan 也可能不至於在該局多投那麼多冤枉球。
"或許" Melvin 的決定讓整個 "運氣" 從 D'Backs 流向了 Dodgers，但還是那句話：Billingsley 也許有點運氣，而如果他沒有實力，單單僥倖並不會自動讓他贏得這場得來不易的勝利。
最後付上至 8 月 27 日為止的 Adjusted Dartboard Prediction：
NL West：
| TEAM | P_Win | P_Lose | WPCT |
| LAN | 85.48 | 76.52 | 0.528 |
| SDN | 83.09 | 78.91 | 0.513 |
| SFN | 80.81 | 81.19 | 0.499 |
| ARI | 78.87 | 83.13 | 0.487 |
| COL | 77.81 | 84.19 | 0.480 |
NL Central：
| TEAM | P_Win | P_Lose | WPCT |
| SLN | 85.13 | 76.87 | 0.526 |
| CIN | 82.13 | 79.87 | 0.507 |
| HOU | 78.34 | 83.66 | 0.484 |
| MIL | 77.50 | 84.50 | 0.478 |
| CHN | 67.95 | 94.05 | 0.419 |
| PIT | 63.25 | 98.75 | 0.390 |
NL East：
| TEAM | P_Win | P_Lose | WPCT |
| NYN | 98.44 | 63.56 | 0.608 |
| PHI | 81.50 | 80.50 | 0.503 |
| FLO | 79.20 | 82.80 | 0.489 |
| ATL | 77.90 | 84.10 | 0.481 |
| WAS | 69.89 | 92.11 | 0.431 |
Marlins 最近上浮的速度會不會太快...
