Talking about Pitching Runs Created

最近能有這麼多的時間念書，全要歸功於 Dodgers 的比賽讓人從來不想看完全場 (詳細的 Dodger News 請至 友台 參考)，這裡乾脆來談談 THT 於 06 年搬出的新花樣：Pitching Runs Created (PRC) 吧。

PRC 是由 David Gassko 所發表關於投手的統計量，目前這已經成為 THT Statistics 上的一項參考指標，相關的 derivation 正如 Tradewind 兄的留言 -- THT 從來都完全公開他們的結果讓讀者檢視 -- introduction 在 這裡，follow-up 則在 這裡。

Gassko 在 introduction 裡提到：當一支球隊有 5-run scored with 1-run allowed 時，winning percentage 是 93.4%；但如果在 5-run allowed 之下，要 maintain 93.4% 的 winning percentage 就需要有 15.4-run scored。基於 "A run allowed is not equal to a run scored"，PRC 於是將這種投手失分的程度換算成和打者的 Runs Created 等價的東西，整個 PRC 的 ground 則是建立在 Pythagorean formula 之上。

Pythagorean formula：

Winning percentage = RS^x / ( RS^x + RA^x ),

Where RS (RA) is runs scored (allowed), x represents an adequate exponent.

Initially，x 的值是 2；historically，x 的 best fit 則是 1.82。BP 的 Clay Davenport 在這個部份則有推導出依 runs environment 的 best exponent，相關文獻在 這裡 找得到。

且不管 Pythagorean formula 是否為一個符合真實 RS 與 RA 環境的模型，問題在於這個式子不論在 x = 2 或 x = 1.82 都還有不錯的估計結果。在這裡我並不想去爭論關於 Pythagorean formula 的 goodness of fit，先回頭來看看在 BP 在 Mendoza Line 下所得到的啟發、也是最被廣為使用與流傳的 VORP。

在打者的部份，VORP 是基於 Runs Created (RC) 去求得的數字，以 Cubs 的 Derrek Lee 為例，他在 05 年為 Cubs 拿下 95.6 的 VORP，也就是說 Lee 在 05 年為 Cubs 比起一個 replacement level 的選手 入替 lineup (Updated at May 7, corrected by Tradewind) 多了 95.6 的 RC。原則上這個 95.6 可能不是很重要，重要的是如何定義所謂的 "replacement level" 的 RC，事實上可以從 Lee 的基本打擊資料求得 05 年 NL 的 replacement level 在 700 個 PAs (這是 Lee 在 05 年的總 PAs) 下大約只有 116.326 的 RC。

還有一個很常見的講法就是 VORP 10 分約可以代表 1 勝，我一直不是很明白這是從何說起 (是不是因為我從來沒有看過 Bill James 的著作？) ，不過我「猜」它是從簡單線性迴歸 (simple linear regresion) 估算 winning percentage 時得來，它的模型是：

W%(winning percentage) = RDG*S + 0.5,

Where RDG is Runs Differential per Game, S & 0.5 represent the slope and intercept respectively.

在 RDG 為 0 時，W% 為 0.5 似乎算是合理的假設；就 all time derive 的結果來看，這個 S 大約是 0.1，換句話說這個模型的型態就可以寫成 W% = (RDG/10) + 0.5。而把這裡的 "10" 看成 runs per win 的話，也許就是 10 分等於 1 勝的主要原因。

回到主題，原始版本的 RC 計算方式很簡單，它只是利用 TB (total bases) 乘上 OBP 而已。不過講到 model reality 的話，RC 就不會是一個很好的統計量。好比說某位打者在 39 個 PAs 裡安全上壘 14 次，得到 18 個 TBs，他的 RC = (14/39) * 18 = 6.46；如果他在下一個 PA 擊出一支 single，他的 RC 立刻就變成了 (15/40) * 19 = 7.125，所以這支 single 的就有 7.125 - 6.46 = 0.665 分的價值？這當然是很詭異的結果！

即使目前的 RC 有幾種不同的版本，但無論如何，它都只是增加了一些 iteration 後得到的係數而已。基本上 RC 建立在一個不太真實的平台之上，衍生而來的 VORP 則只是一種可以拿來比較用的 scale，我可能願意寫 Lee 在 05 年 95.6 的 VORP 代表他比 Alber Pujols 的 88.3 多了 8.3 的 RC，也不願意寫 Lee 比 Pujols 多為球隊拿下 8.3 分。

換句話說，RC 只是因為簡單，所以才被廣泛使用，我們的確可以用 VORP 來評估一位球員在 RC 方面的表現，但不代表 VORP 是評估球員火力的聖經。

回頭看看投手的 VORP，它是基於 RAv (Run Average，為了和 runs allowed 區別而多加了一個 "v") 在談的，重點同樣在於定義 replacement level 的 RAv。概略的計算方式是：

VORP = ( RAvp - RAvr ) * ( inning_pitched / 9 )

Where RAvp (RAvr) is the Run Average of pitcher (replacement level pitcher).

基於 ERA 對於投手的評估過於「仁慈」同時不夠客觀 (基於 error 的判定)，我們有很好的理由在這裡使用 RAv 而不是 ERA。

相較於打者，且不論投手的 VORP 能否代表投手的真實能力，但對於評估球隊的 runs allowed 卻是相當直接。好比說 Roger Clemens 在 05 年為 Astros 拿下 80.2 的 VORP，不考慮 park adjustment、不考慮 defense efficiency，它仍然實實在在的代表 Clemens 在該年 211.1 局的投球可以比同局數 NL 的 replacement level 投手多省下球隊 80.2 分 (05 年 NL 的 replacement level RAv 大約是 5.6 左右)。也就是說，投手的 VORP 比起打者的 VORP 要「真」很多。

那麼，我們究竟有無必要將投手的 runs allowed 給 translate 成打者的 runs created？這是我看完 Gassko 的發表後首先懷疑的問題。他最初的例子也提到投手的 4 runs above average 等於打者的 9.4 runs above average、「漲價」了 235%，但這是兩種完全不同的平台，拿來相提並論實在有點奇怪。不能否認的是 Gassko 在 derive PRC 的過程中導入了像是 DIPS 與 BABIP 等等的好東西來修正，但如果這些修正是做在 RAv 之上，結果不是能更有意義的反映出投手的 performance？

當然，Gassko 的 ground 是 Pythagorean formula，但這仍然是一個大方向而已。在 runs differential 為 0 的情況下，Pythagorean formula 所計算出的 W% 永遠是 50%，但沒有人認為在平手的情況下進入 extra-inning，雙方仍然有相同的機會獲勝；而 run differential 為 1 時，Pythagorean formula 反映出在 3 : 2 時的 W% 是 0.674、5 : 4 時則是 0.599，萬一前者出現在 5th inning、後者是在 8th inning，這裡的 W% 可能也就不會長得這個樣子了。

原則上，個人對於 PRC 的看法大約就是把它當成是投手 VORP 的另一種 scale 就好，要說 PRC 的好處則不在於它本身如何看待 runs scored 與 runs allowed 相對價值，而是它被考慮的方向比起投手的 VORP 要周詳，如此而已。總之，個人不覺得 PRC 是 sabermetrics 裡的一個大發現，至少現階段不是。