On Second Thought of PRC

個人在上一篇討論 PRC 的文章裡犯了些描述上的錯誤，在 Tradewind 兄給過一些意見後，個人又花了一點時間重新檢視整個 PRC 的理論，後來 Walaykao 兄提到最重要的一點：Pythagorean Formula 並不是 situational-sensitive 的 estimator。我想不管自己是沒寫清楚或是對 Pythagorean Formula 有所誤解，都有必要再來談談 PRC。

我認為統計量有兩種：可以自我解釋實質意義 (self-explainable) 與 "No comparison, no more."。

以 RAv (run average) 為例，它屬於前者，它代表了一個投手在 9 局的投球裡可能丟掉 RAv 分，本身的意義如此，也可以拿來和其它的投手做比較。

而 RC (runs created) 可能就是後者，當提到一名打者的 RC 是 100 的時候，我們不容易知道這個 "100" 究竟是什麼意思，畢竟 RC = 100 並不代表打者為球隊掙得了 100 runs，而是 100 的 RC。這樣的統計量如果不和其它的球員相比，並沒有什麼實質上的意義與價值。

Sabermetricians 不斷的發表一些新的統計量，但最終目的都是儘可能的將這些統計量「具體化」，像是打者的 VORP 達到 10 分就可以相當於 1 win (Well, this depends on whether you believe it or not.)；Keith Woolner 的 leverage 不只是定義了 situational intensity，同時也點出在 specified situation 下失分對 Win Expectancy 的衝擊。

PRC 則是從投手的 RAv 出發後轉換成另一個 scale。名義上，PRC 將投手的 performance 給「變成」打者的 RC，但是當我看到 Roger Clemens 在 05 年的 PRC 是 147 之後，我只覺得這是一個不知如何解釋的 quantity。原則上它「不太可能」代表 Clemens 為 Astros 來 05 年得到「理論上」的 14 ~ 15 勝，否則計算 Win Share 的人都得去撞牆了；拿 PRC 來做投手間的比較，產生的 ranking 看起來也就像是投手的 VORP 經過 BABIP 與 DEF-EFF 修正的 result。也因此 Gassko 推導 PRC 的結果讓我覺得這是在做倒車，不像是一個有意義的統計量。

關於 Pythagorean Formula 的部份，我曾提到 "One 'critical' run scored may be worth as several runs scored."，這並不代表我要求 Pythagorean Formula 必須 situationally 適用，而是整個 RA (runs allowed) 與 RS (runs scored) 間的關聯性問題。

不能忘記的是如果 RS = 0，W% (winning percentage) 就永遠也是 0。也就是說把 Pythagorean Formula 當成是一個 solid ground 的話，在我們利用它討論 runs saved 的相對重要性之前，是否該先給 runs scored 一些 antecedent leverage？好比說，我們在 RS 加上一個 offset 量 "B"，使得整個 translate runs scored 與 run saved 的 Adjusted Pythagorean Formula 成為：

W% = (RS - B)^x / [( RS - B)^x + RA^x ]

Where RS (RA) is runs scored (allowed), x represents an adequate exponent.

這樣的作法會否更合理？

當然我不清楚 Pythagorean Formula 是怎麼得到的，原則上可能還是經過一些 multivariate regression 導出的結果，但無論如何，它的 population 是所有的 historical data。在這樣的情況下，Pythagorean Formula 的 runs environment 是穩定的。

我利用 retrosheet 的資料玩了一下 RS 與 RA，發現的是兩者之間「可能有」某種程度的關聯。以 Dodgers 為例，在不考慮那些有打入 playoff 的 seasons 下，單以 simple liner regression 來 fit，RS 與 RA 之間的相互解釋程度就大概可以提昇 10% (如果單考慮 RS 或 RA，我可能不會用 工業統計估算 MTBF 的 Weibull distribution，而是利用 Gamma-family 那種 shape 偏左特性的 distribution 去 fit)。這樣的結論當然沒什麼太大意義，就和估計 BABIP 的不可預測性差不了太多，但這至少已經讓我產生了一種懷疑：RS 與 RA 在 mediocre performance 下可能有某種程度的相依性 (dependency)。相對的，Pythagorean Formula 在這個 mediocre 的群體裡估計也較為好。

那麼針對 Roger Clemens 或 Johan Santana -- 這些較 dominant 的 SP，Pythagorean Formula 是否能 well-covered 他們的 "pitching enviornment"？Gassko 在這個部份利用聯盟平均的 RA 與 Santana 的 RA 計算出合適的 exponent，這樣的做法固然算是躲掉了可能發生的「用 fit 好的模型去預測模型行為外的個體」的錯誤，但這樣的修正可以得到多少的 credibility？我個人的態度是懷疑的。

總之，我個人對於 PRC 的看法是：

• 我不喜歡 Pythagorean Formula，雖然它的結果很準。


• 我不認為利用 Pythagorean Formula 來 translate Runs Created 與 Runs Saved 是一個 solid base。


• 我不認為投手的 runs saved 有必要與打者的 runs created 相比，畢竟討論 Barry Bonds 與 Roger Clemens 究竟誰的貢獻較大時，Win Share 的概念我「比較」能接受。


• 我不認為 Gassko 對於 PRC 的鑽研已經告一段落，更具體的 interpretation 在未來應該仍然看得到。

有時候，真的痛恨自己在學生時代為什麼不肯多用點心，到老了碰到這麼多的疑問，卻又拿不出時間來解決...