Online WPAB

THT 的 Dave Studeman 在 04/17 的 Ten things I didn’t know last week 裡發表了一個新的玩具：

Win Probability Above Bench

簡稱 WPAB。

原則上這是 WPA (Win Probability Added) 的延伸，由於 WPA 的意義是 WAA (Wins Above Average)，WPAB 則是把 WPA 的 baseline -- 也就是 league average -- 變成讓使用者可以自行設定的東西，換句話說，可以藉由這個新玩具計算 Wins Above "Replacement Level"。

話說回來，個人對於 replacement level 的興趣其實有點缺，畢竟無論 replacement level 如何訂都不會比直接 apply league average 為 baseline 來得直覺，不過在 WPAB 剛 "上市" 的 early stage 裡，我們不妨先來看看它的內涵。

Studeman 的對 WPAB 的 inspiration 如下：

WPA is the difference between a player's Win Advances and Loss Advances in each game. By subtracting one from the other, WPA compares a player's contribution to an average (.500) player.

Well, what if you want to compare a player to another level, such as a .350 player, or .400?

也許很多朋友的第一個問題會是：什麼叫做 "a .350 player"？這裡的 ".350" 代表什麼意思？是 OBP？還是 EQA？亦或是 wOBA？

事實上這個 ".350" 在 07 年球季時個人曾經在幾篇討論 BP baseline 的文章裡做過一些介紹 (這裡 和 這裡)，如果你沒有看過，我們趁這個機會做個說明：以打者而言，它所代表的是 Offensive Winning Percentage，或簡稱 OW%，它的計算方式如下：

• 計算某位特定打者的 Runs Created per 27 outs，or "RC27"。


• 計算 league average 的 RC27，say "lgRC27"。


• Claim: X = ( RC27 / lgRC27 )


• OW% = (X^2) / ( 1 + X^2 )

不難發現最後的 "X^2 / ( 1 + X^2 )" 正是 power = 2 的 Pythagorean Formula。那麼如果我們利用 Keith Woolner 在架構 VORP 時所 apply 的 ".380 OW%" baseline 來計算，一季的勝場數是：

162 * .380 = 61.56 (wins)

怎麼解釋 61.56 wins？這指的是一支由 Keith Woolner 的 replacement level 打者 與 league average 的投手 所組成的球隊一季可以得到的理論勝場數，如果您長時間有 trace 這個 Blog，"61.56 wins" 應當不陌生，因為 07 年 offseason 個人做 model reality 的討論時曾經出現過。

我們還可以計算 Woolner 的 replacement level 打者的 RC 與 league average 的比較：

X^2 / ( 1 + X^2 ) = .380
X = 0.783

所以 Woolner 的 replacement level 打者的 RC (Runs Created) 是 league average 的 78.3%。

那麼投手呢？前面已經提過：OW% 是 Pythagorean Formula 的延伸，如果想知道 .380 的投手的 RA 與 league average 的比較，我們就對下面這個式子求解：

1 / (1 + X^2 ) = .380
X = 1.27

因此 .380 投手的 RA 是 league average 的 127%！接下來我們進一步看 Woolner 的 "replacement level team" 一季的 WPCT -- applied by Pythagorean Formula with power = 2：

(0.783)^2 / ( 0.783^2 + 1.27^2 ) = 0.273
162 * 0.273 = 44.22 (wins)

此即為 VORP 實質 baseline 為 44-win per season 的球隊的由來。而花時間解釋這個部份的目的無非是讓想玩的朋友有個可以 reference 的點，換句話說，我們將使用 WPAB 來與 VORP 做比對。

我們以 07 年 Dodgers 的 Andre Ethier 為例，首先查到 Ethier 在 07 年的 VORP 是 13.8。接下來我們 refer to Ethier 在 Fan Graphs 的 stats，然後打開 Studeman 所提供的 新玩具：

• 在 Win Advances 的欄位填上 9.29 (Ethier 於 07 年的 WPA+)。


• 在 Loss Advances 的欄位填上 8.96 (Ethier 07 年的 WPA-)，注意在這裡不要加上 "負號"！


• 在 Target Replacement Level 的欄位填上 0.38 -- 因為先前提到 VORP 的 baseline 就是 0.38 的 OW%。

Submit 之後，我們得到 Ethier 在 07 年的 WPAB 是 1.1，如果從 10-run equals 1-win 的角度，11 的 Runs Above Bench 與 13.8 的 VORP 並沒有差很多，right？

這裡必須再說明一件事：選擇 Ethier 為例子純粹是因為他在 07 年的 clutch (refer to fan graphs) 只有 0.09，幾乎是 neutral、沒有受到 situation 與 context 太多影響的結果，加上 VORP 本身也沒有考慮 situation 與 context，這才能將 WPAB 與 VORP 做一個對照，如果我們找一位 clutch 距離 "0" 較遠的球員，相信兩者的結果是會差很多的！我想未來還有機會對 Fan Graphs 所定義的 clutch 做深究，這裡就先點到為止。

Have fun!