A Dirty Way to Derive OPS_Win

這篇文章是 Morikawa Blue 開設以來的第 150 篇，算是個值得被紀念的標竿。說起來，還真不敢相信自己撐了這麼久。無論如何，現階段還有一些動力支持個人寫下去，這裡說 "動力" 指的是一方面驅使自己吸收新的棒球知識與觀念，此外就是所有在這裡與個人做過互動的朋友 -- 透過這樣的交流方式，相信彼此都或多或少有一些收穫。

OK，進入正題。這一回個人想透過一些數字的 "魔術" 來 derive 在這個 Blog 經常提到、也經常用到的 metric -- OPS_Win。之所以說 "魔術"，是因為 derive 的過程裡發現 OPS_Win 與 RE (Run Expectancy) 的巧妙關係，讓個人意想不到，相信也會讓讀這篇文章的朋友意想不到。

現在，我們從 OPS 開始。

原始的 OPS 是 OBP 與 SLG 的總和，個人把 OBP 重寫如下：

OBP = ( 1B + 2B + 3B + HR + BB ) / ( AB + BB + SF )

SLG 則是：

SLG = ( 1B + 2 * 2B + 3 * 3B + 4 * HR ) / AB

如果說 OBP 與 SLG 是 OPS 的成份，那麼 1B、2B、3B、HR 與 BB -- 這幾個 batting events 就是 OBP 與 SLG 的成份，當然，別忘了 "outs"。

現在回頭來看看 RE，我們曉得在每一局裡頭會有 3 種出局數、8 種 runners on base 的情況，合計就是 24 種組合，以下是 RPG (Runs Per Game) 4.8 的 partial RE Matrix：

State	Runners	Outs	RE
1	---	0	0.533
2	1--	0	0.926
3	12-	0	1.542

考慮 BB 這項 batting event，從 state 1 轉移到 state 2 的 BB 價值 0.393 runs (0.926 - 0.533)；從 state 2 轉移到 state 3 的 BB 則價值 0.616 runs (1.542 - 0.926)。Simply put，一個 BB 的價值將會隨著 situation 的不同而改變，要說明的一點是：這裡我們不考慮 context，請暫時把 WE (Win Expectancy) 丟到一邊去。此外，如果不經過 state 2，也就一定不會有 state 3，也就是說 state 2 出現的機會 "勢必" 要比 state 3 來得高。

所以我們曉得在不同 states 的 transition 裡，BB 所價值的 runs 都不盡相同，那麼將這樣的 states 組合 (這裡是指 "有可能因 單一 BB 而 transit 的 states" -- 比方說 "無人出局 1 壘有人" 到 "無人出局滿壘" 就是一組不可能經由單一 BB transition 而達成的 states) 給抓出來，接下來依各種組合發生的 "機會" 與其 "所價值的 runs" 做 加權平均 (weighted mean)，得到的就是一個 BB 的 weighted runs。我們管這樣的 weighted runs 為 BB 的 Linear Weights、or LWTS。在 RPG 為 4.6 ~ 4.8 的環境下，BB 的 LWTS 大約是 0.323，這可以解釋為一個 BB 的 average RE 是 0.323 runs。

以下是所有與 OBP 和 SLG 有關的 batting events 的 LWTS：

Batting Events	LWTS
1B	0.475
2B	0.776
3B	1.070
HR	1.397
BB	0.323
Out	-0.300

別忘了，我們的目的是 deriving OPS_Win，為求簡單，我們把 SF 給捨棄，畢竟它對 SLG 沒有影響，對 OBP 的影響更是相當有限。

有了這些 LWTS 後，我們來考慮聯盟平均，以下是 07 年 NL 的部份 batting events 的 total：

AB	1B	2B	3B	HR
89488	15688	4898	505	2705
BB	HBP	SF	OBP	SLG
8576	934	752	.334	.423

對一位 regular player 而言，一個球季下來 大約會拿到 600 上下的 PA，藉此，我們將上述的 total 做一個 "scale down"，也就是把每一個 batting events 的總和除以一個常數 (constant) 以得到一位約 600 PA 的 league average batter 的 "假資料"：

AB	1B	2B	3B	HR
542	95	30	3	16
BB	HBP	SF	OBP	SLG
52	6	5	.334	.420

在這裡，我使用的常數 (除數) 是 165。

接下來，我們利用這位 虛構 (made-up) 的 league average 打者，考慮幾個 batting events 對 OBP 與 SLG 所產生的 marginal differential。比方說這位 average 的打者多打了一支 HR，那麼他的 OBP 會增加 0.0011、SLG 則增加 0.00659。

又，我們在前面解釋 HR 的 LWTS 是 1.397，換句話說：如果想單單用 OBP 與 SLG 來 translate runs，對一個聯盟平均的打者而言，多打一支 HR -- 相對於增加 0.0011 的 OBP 與 0.00659 的 SLG -- 會換來 1.397 的 expected runs (LWTS)。我們將這個部份的結果整理如下：

Event	LWTS	OBP_Diff	SLG_Diff
1B	0.475	0.00110	0.00107
2B	0.776	0.00110	0.00291
3B	1.070	0.00110	0.00475
HR	1.397	0.00110	0.00659
BB	0.323	0.00110	0
Out	-0.300	-0.00055	-0.00077

其中 OBP_Diff / SLG_Diff 所代表的是多加一個第 1 行的 batting event 對 OBP / SLG 所產生的 differential、respectively。

如果你沒有跟上，從這裡開始也無妨。再解釋一次上面這個表格的意義：以 1B 為例，對於那位虛構的聯盟平均打者，多打 1 支 1B 會讓 OBP 增加 0.0011、SLG 增加 0.00107，然後拿到 0.475 的 expected runs (也就是 1B 的 LWTS)，依此類推。

現在我們有了 batting events 對聯盟平均打者的 OBP 與 SLG 的影響以及 related LWTS，下一個目的就是要建構一個完全由 OBP 與 SLG 所組成的式子來估計 Runs，也就是說我們的目標是：

a * OBP + b * SLG = Runs ‧‧‧ (a)

考慮多打一支 1B，上面的式子 (a) 會變成：

a * ( OBP + 0.0011 ) + b * ( SLG + 0.00107 )
= Runs + 0.475 ‧‧‧ (b)

將 (b) 減去 (a)，得到：

a * 0.0011 + b * 0.00107 = 0.475

重複那些與 OBP、SLG 有關的 batting events，即得到一組線性方程式 (a set of linear equations)，我們將用這組線性方程式來解出其中我們想要的係數 (coefficient) a 與 b。以最小平方誤差法 (least square error) 得到的 best solution 是：

283 * OBP + 163 * SLG = Runs ‧‧‧(c)

現在來檢驗一下 (c) 夠不夠好？我們用它來估算一支 1B 的 LWTS：

283 * (0.0011) + 163 * (0.00107) = 0.485

可以發現這個數字與真實資料的 0.475 相當接近，以下是利用 (c) 計算 eLWTS 與實際 LWTS 的比較：

Event	eLWTS	LWTS
1B	0.485	0.475
2B	0.785	0.776
3B	1.085	1.070
HR	1.386	1.397
BB	0.311	0.323
Out	-0.282	-0.300

Just in case you wonder：eLWTS (283 * OBP + 163 * SLG) 與 LWTS 的 correlation coefficient 大約是 0.99 -- an almost perfect case！

OK，deriving 的工作大致上已經完成了一大半，現在我們回頭看看得到的估計式，基於 1 個球季是 162 場比賽，我們把 162 做為常數從 (c) 式中提出來：

Runs = ( 1.747 * OBP + 1.001 * SLG ) * 162

假設以 600 做為一位 regular 打者一季的得到的 PA 基數，上面的式子可以寫成：

Runs = (1.747 * OBP + 1.001 * SLG ) * 0.27 * PA
Since ( 162 / 600 ) ~ 0.27 => PA * 0.27 ~ 162

最後我們 honor 10 runs equal 1 win，把等號兩邊各除以 10，上面的式子就變成：

Wins = 0.027 * ( 1.747 * OBP + 1.001 * SLG ) * PA

Given the "made-up league average hitter", with OBP 0.333 0.334 and SLG 0.420，we have：

1.747 * 0.333 0.334 + 1.001 * 0.420 = 1.004 ~ 1

Consider "Wins Above Average"、or WAA, we have：

WAA = 0.027 * ( 1.747 * OBP + 1.001 * SLG - 1 ) * PA

Let's recall the original OPS_Win：

OPS_Win = 0.025 * ( 1.7 * OBP + 1 * SLG - 1 ) * PA

Almost identical, isn't it?

從 derive 的過程裡，我們曉得 OPS_Win 其實隱藏的是 RE 的訊息，要說 OPS_Win "利用 OBP 與 SLG 來逼近 RE" 是合理且安全的。又，對絕大多數的野手來說，它們的 clutchiness 在經過一個球季的 long run 後會被 neutralized，所以 OPS_Win 的結果對大多數的打者來說將會很接近他們的 batting WPA -- 也就是球員的真實價值！

另一方面，OPS_Win 還告訴大家一件事：OBP 在 translate runs 的時候，其 weight 是 SLG 的 1.7 倍左右。但別忘了，這是單純就 "scale" 的角度來看問題。不可否認的事實在於 OBP 的 range 是 0 ~ 1；SLG 則是 0 ~ 4，一位打者想增加 0.01 的 SLG，其難度和 0.01 的 OBP 是絕對不同的！

最後想說的是：用來評價球員的 metrics 並不是複雜就比較好，OPS_Win 的可愛之處就在於它這麼簡單、沒有用到聯盟資訊、但還是能維持相當程度的正確性與真實性，更何況 OPS_Win 的 baseline 是最直截了當的 league average。這也是個人喜歡 OPS_Win 勝過 VORP 與 EQA 的最主要原因。

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這裡有一篇 Dan Fox -- 少數極為用心的 sabermetrician -- 還在 THT 的時代所發表的一篇 "極為基本" 的文章，如果來這裡的朋友對數字有興趣，卻又說不出像 OPS 這種新一代的 metrics 好在哪裡時，建議瀏覽一下。

Run Estimation for the Masses

在該文後面的部份，Dan 把 OPS 的其中一部份提了出來，寫成下面的型式：

(4/PA) * [(0.5*S) + (0.75*D) + (1*T) + (1.25*HR) + (0.25*W)]

其中 S = 1B、D = 2B、T = 3B、W = BB。

注意上式中加了 underscore 的那些 coefficients，是不是和前面所提到的 LWTS 很相近？所以 OPS 為什麼會是一個既簡單又 superior 的 metrics，原因就在這裡！

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個人在 上一篇 文章提到一件事：

說 EQRAA 與 OPS_Win 的線性關係維持在 0.9 以上的 correlation coefficient 是安全的 (這僅僅代表 EQRAA 與 OPS_Win 的 "方向" 一致)。

不過 CC (correlation coefficient) 0.9 究竟代表什麼？它其實只是給我們一個方向，一方面代表 EQRAA 越大、OPS_Win 也就越大；反之 EQRAA 越小，OPS_Win 也越小，就這樣而已。另一方面，如果利用 EQRAA = a * OPS_Win + b 來求 a 與 b 的最佳解，CC 越高，表示用 OPS_Win fit 出來的 EQRAA 結果會更像一條直線。

所以即便 EQRAA 和 OPS_Win 有 0.9 以上的 CC，這也 "不盡然" 代表 EQRAA = OPS_Win，除非求出來的 a = 1 & b = 0 -- 這是 OPS_Win derive 過程中 eLWTS 與 LWTS 的 case。