Win Expectancy Primer

人在 Padres 做制服組的 DePo 最近又有了 remarkable comment：

"Part of the fun of this game is that we'll never figure it out. We're never going to get it right. What we try to do is become a little less inefficient in our decision-making. That's Moneyball. It doesn't mean we're going to make the World Series every year. Hopefully, we will be competitive every year. It's no guarantee for success."
-- Paul DePodesta, Former Dodger GM

Again，看到這種 comment 只是讓人充滿痛恨而已！Dodgers 真正資敵最大、最失敗的 move，應該就是放掉 DePo。

我們曉得 Moneyball 或大部份的 sabermetrics 談論的都是 GM 的決策 (decision-making)，難道這代表 sabermetrics 沒有辦法 cover field manager 的決策嗎？其實也不盡然，以 Win Expectancy 為 ground 的理論正是拿來檢視 manager 最好的工具，話雖如此，請務必記得 sabermetrics 只是給我們一個方向，而不是成功的保証。

在開始談 WE (Win Expectancy) 之前，我們先回過頭來看看 WE 的表兄弟 RE (Run Expectancy)，這裡有一個 Tango 所做出來的 RE Matrix 連結，截取下面這個部份做個說明：

RPG	Base	Outs	FREQ	RE	R0	R1
2	Empty	0	.259	.222	.849	.104

這段的意思是：在每場比賽平均得分為 "2" (RPG) 的前提下，每局發生 "無人出局 (out)、無人在壘 (Empty)" 這個情況的機會 (FREQ) 是 0.259；而球隊的期望得分 (RE) 在此情況下是 0.222；到該局進攻結束後得 0 分的機會 (R0) 是 0.849、得 1 分的機會 (R1) 則是 0.104....and so on。

換句話說，在指定了 RPG (Runs Per Game) 之後，每一局進攻裡都有 24 個不同的 states ( 3 種出局數 * 8 種壘包組合)，每一個 state 有其對應的 RE，球賽的過程就是在這些 state 之間做 transition。打個比方，以現在 ML 約 4.5 RPG 的情況下，"0-out、base loaded" 的 RE 是 2.34，不管攻擊方是用 3 支連續 single 或 3 個連續 BB 來達到這個狀態並不重要，重要的是一旦到達就有 2.34 的 RE。

WE Matrix 就沒有像 RE Matrix 這麼單純，因為 WE Matrix 必需考慮 RD (Run Differential) 與比賽進行的程度 (inning)，所以 WE Matrix 比 RE Matrix 多出了兩個維度，光是 Top 1st 的 WE Matrix -- 僅考慮 RD 自 -6 ~ 6，就有 13 * 24 = 312 個 states 在做 transition (但並非每個 state 與 state 都是 mutually accessible)。Theoretically，WE Matrix 的 "size" 可以是無限大的。

Mathematically，談到 state 與 state transition -- WE 或 RE -- 背後的 model 其實就是 n-state Markov Chain 的型態；它甚至還有點像是個人在 這篇文章 裡提及由 Copenhagen 學派發表的 "波函數" (wave function) 模型，不過這裡既沒有沒有要再回頭談量子物理、也不打算說明 Markov Chain 的 simulation，只是稍微提一下模型背後的 fundamental grounds。

也許會有人覺得有了 RE Matrix，為什麼還需要 WE Matrix？這道理其實再容易不過：畢竟同樣是落後一分，bottom 1st 和 bottom 9th 下，Home/Road team 的 WE 將會有很大的差距。很顯然的，如果僅是 1 分差的 game，bottom 9th 的 outs 會比 bottom 1st 要 critical 許多，RE 說不出這其中的差別，但 WE 可以；另一方面，由於 field manager 在下決策的時候必然是想從某一個 state 轉換到另一個 state (e.g. 下達 SH 使 0-out、一壘有人變成 1-out 二壘有人)，那麼 WE 可以用來評估 field manager 的策略下達是否合情合理。

在 internet 上的可得資源裡，沒有人提供足夠的 WE Matrix 讓我們檢視，但這裡有一版由 Tango 所提供、在 late-inning、RD 於 -1 ~ 1 之間 的 WE Matrix，我們姑且拿這個來玩一玩。

參考以下的幾個狀況：

A. Bottom 10th，RD = 0、主隊無人出局攻上一壘

Strategy：主隊執行 SH

Inning	RD	Outs	Runner	WE
Bottom 9th	0	0	1--	0.715
	0	1	-2-	0.703
	0	1	1--	0.637

首先要說明的是：在 WE Matrix 裡，extra-inning game 的任何一個 top 或 bottom 都可以視為 top 9th 與 bottom 9th 的 duplicate，因此雖然狀態寫的是 bottom 10th，但我們依舊可以使用 bottom 9th 的 WE Matrix 來做決策分析。

在節錄的 WE Matrix 中，首列是起始的狀態；第 2 列是 SH 成功的狀態；第 3 列則是 SH 失敗的狀態，你可以發現一個成功的 SH 會讓你的 WE 向下修正 0.012 (not much though!)，因此即使在 Bottom 10th，SH 不是被 prefer 的策略。

RE Matrix 也支持這個說法：由於是 bottom 10th，任何得分的情況都會讓比賽結束，refer to RPG 4.5、無人出局 1 壘有人時，攻擊方得分的機會是：

1 - P( R0 | RPG = 4.5 ) = 1 - 0.578 = 0.422

而一個成功的 SH 後，攻擊方得分的機會成為 1 - 0.604 = 0.396，所以在 A. 命題下，SH 並不是一個值得 perform 的策略。

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B. Bottom 10th，RD = 0、主隊無人出局攻上二壘

Strategy：主隊執行 SH

Inning	RD	Outs	Runner	WE
Bottom 9th	0	0	-2-	0.807
	0	1	--3	0.830
	0	1	-2-	0.703

這裡就有點意思了，由於一個成功的 SH 可以讓 WE 昇高 2.3%，因此執行 SH 的空間就出現了，不過 SH 也有所謂的成功與失敗，在 B. 命題下，field manager 必須考慮他所派出來的 bunter 能夠 maintain 一定的 SH 成功率才行，為求簡單，我們設定原本在二壘的跑者於 SH 點失敗的情況下不會亂衝而死在三壘前。

那麼假設這位 bunter 的 SH 成功率為 P，那麼 P 必須滿足以下這個式子才有執行 SH 的意義：

P * 0.830 + (1-P) * 0.703 > 0.807

解出上述的不等式，得到 P ~ 81.89%。

也就是說如果 bunter 有大約 82% 的 SH 成功率，SH 在命題 B. 之下是可以執行的，只是這樣的 bunt 可以讓攻擊方增加的 WE...憑良心講並不多。

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C. Top 12nd，RD = 0，客隊攻佔二、三壘，一出局

Strategy：主隊執行 IBB

Inning	RD	Outs	Runner	WE
Top 9th	0	1	-23	0.281
	0	1	123	0.278

很多人或許會覺得 IBB 是一項自殺的策略 (除非 batting behind 被 IBB 的打者很糟)，也許 WE 的結果看起來也像是那樣 -- 因為主隊的 WE 在 IBB 之後倒退了 .003。

不過這裡的結論不該這麼下，畢竟我們所使用的 WE Matrix 是利用 Markov Chain 所得來的結果，它是否能準確到小數點後 3 位是有待商榷的！具體的說，如果要準確到 0.001，那麼需要給到 1M 的樣本數，以每場比賽 40 個 state transitions 計算，那就是 25K 場比賽的量，坦白說有點誇張。

因此我們寧願做出以下的結論：在命題 C. 之下，這個 IBB 的執行與否並沒有絕對的對錯！重點在於還不到 2-outs，同時 3 壘有跑者，IBB 的執行與否其實並沒有那麼 critical。

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較為完整的 WE Matrix 在 Tango、MGL 與 A. Dolphin 合著的 "The Book" 裡有提供，這個 WE Matrix 後來也成為 Fan Graphs 配分 WPA (Win Probability Added) 時的重要依據，個人以為 WPA 最大的用處在於 "評斷 RP 的表現" -- 因為 RP 上場的時機 -- 尤其是 situational RP -- 裡，10-run 為 1-win 的法則通常不適用。

應該有不少人曉得 WE Finder 這個工具，即便如此，不代表我們不需要 Tango、MGL 等人的 WE Matrix，畢竟 WE Finder 只是單純的 empirical data，它無法涵蓋所有真實的情況，比方說在 Top 9th、主隊 1 分領先下的 WE：

Runner	Outs	WE Finder	The Book
-2-	0	0.669	0.631
--3	0	0.649	0.544

就比賽層面來看，"The Book" 的數字合理許多；WE Finder 在上述情況則表現不出差別，原因應該很好理解：因為 Top 9th、0-out、客隊落後 1 分攻上 3 壘的機會是少之又少，因此造成 WE Finder 在 sample size 不夠的前提下出現了有些 unexpected 的結果。

BP 的 WE Matrix 就更有意思了，它居然只提供單年的資料，以致不少欄位出現了 WE = 1.00 的 "決定性" 結果，我不明白收費的 BP 為什麼提供如此無用的東西...

不過擁有完整 WE Matrix 的壞處就在於：很難讓人繼續去相信那些 field managers，如果有多事的 sabermetrician 想出合理的方式來計算 managers 的 WPA，能得到 "正分" (positive) 的，恐怕是沒有...