Closer Paradox
或許除了 Eric Gagne 以外，MLB 很少有 closer 讓個人覺得值得花大錢去搶。原因也很簡單：02 ~ 04 年的 Gagne 幾乎可以說是個人支持 Dodgers 的原動力，這是個人的私心問題。
長久以來，closer 或是優秀的 RP (後援投手) -- 依個人的印象 -- 在 offseason 裡通常不是拿到長約或大約的一方，不過自 05 年的 offseason 起，這個情況似乎開始改變。首先是 B.J. Ryan 以 5-year 47M 降落 Toronto，接下來 Mets 以 4-year 43M 綁住了 Billy Wagner，考慮 04 年的 offseason 裡 Derek Lowe 的 4-year 36M 被視為付給一位 Ace SP 的價碼，事隔一年、加上 FA 市場上 "Dollars per Win" 的 inflation，B.J. 和 Wagner 所拿到的合約也大約是一位 Ace 級先發投手的水準！然而給予一位每季只投 70 ~ 80 IP 的 closer 一筆 Ace 級 annual salary 究竟划不划算？或者說我們可以從什麼樣的角度來切入這個問題？
這裡提供一個思考模式：先把時間拉回到 04 年以前，回想一下：如果要選出 21 世紀初 MLB 裡最 dominant 的 SP 與最牢不可破的 closer，相信不少人的答案和個人一樣：Pedro Martinez for SP & Mariano Rivera for closer。
粗略的看：在 01 ~ 04 年之間，天下無敵的 Pedro 每年大約可以提供 200+ IP starting high quality output with annual 13M，也就是 6.5M 650K 65K per IP (Inning Pitched)；至於 Rivera 的則是每年約 75+ IP 的 late-inning high quality output with annual 10M，也就大約是 13M 1300K 130K per IP。因此 Rivera 每投一局的價碼大約是 Pedro 的兩倍，看起來，closer 好像真的很貴。
但別忘了：身為 SP 的 Pedro 每回上場的 LI (Leverage Index) 大概是 average 的 1.00；限定在比賽後段上場的 Rivera 每回上場的 LI 則大約是 ~2.00 左右。這可以解釋為：Rivera 的每一局投球對於球隊 WE (Win Expectancy) fluctuation 大約是 Pedro 的兩倍。換句話說，Rivera 每投一局比 Pedro 貴上一倍 其實是 somehow 說得通的。個人不曉得這是不是當初 Brian Cashman 給予 Rivera 01 ~ 04 年 39M 的合約 (annual ~10M) 時 "比照" 的計算方式 (當時 Pedro 已在 98 年簽下 6 年 75M 的合約、annual ~13M)，當然這很有可能不是，畢竟 LI 是近幾年才出現的玩具。
回到 08 年的現在，MLB 最 dominant 的 SP 非 Johan Santana 莫屬，以他每年 220 IP 的輸出與 annual salary 23M，換算過來是 10.5K/IP。乘上 2 的 LI ratio 並考慮 70+ IP，現階段 "closer 的 Johan Santana" 合理的 annual salary 是 14M。不過這也不代表前一陣子對於 Halos 未給予一張長約而碎碎念的 K-Rod 可以 (或應該) 拿到這個價錢，關鍵字是 "closer 界的 Johan Sanata"。在個人看來，現階段 MLB 不存在這種人 (Jonathan Papelbon perhaps?)，雖然 Mariano Rivera 在上一個 offseason 剛拿到 3-year 45M 的合約 -- annually 和我們前面求出來的 14M 相近，但 Mo 早已過了他的全盛時期，這張新合約裡養老金的成分居多。
現在用另一個角度來看 8th inning man -- 也就是 setup man 與 closer 的比較。首先我們將 WE 的觀念引入，以主隊為例，考慮 Top 8th & 9th 且 Run Differential <= 3-run，根據 The Book 所提供的資料：
| WE | Top 8th | Top 9th |
| 1-run lead | 0.734 | 0.825 |
| 2-run lead | 0.854 | 0.918 |
| 3-run lead | 0.923 | 0.963 |
以第一列 (first row) 為例，考慮主隊領先 1 分且打線未在 bottom 8th 得分的情況下，8th inning man 必須掙到 0.091 (0.825 - 0.734) 的 WE，closer 則必須要掙到 0.175 (1 - 0.825) 的 WE 後才能替球隊拿下勝利。
接下來我們參考 Tango 的 RE Matrix，假設我們把 elite closer 定義為 RA 為 2.5 的投手；8th inning man 則是 RA 為 3.0 的投手，那麼他們單局不失分的機會 (refer to column R0) 分別是 0.823 與 0.796。
換句話說，用 1 位 RA 3.0 的投手做 8th inning man；RA 2.5 的投手做 closer，在 Top 8th、1-run lead 的情況下，他們可能為球隊掙得的 Expected WE 為：
0.796 * 0.091 + 0.823 * 0.175 = 0.2164
相同的情況，如果故意將 8th inning man 與 closer 的角色互調，也就是在 Top 8th 用上 closer、Top 9th 用上 8th inning man，那麼可能掙得的 Expected WE 就成為：
0.823 * 0.091 + 0.796 * 0.175 = 0.2141
這其中的差距是 0.2164 - 0.2141 = 0.002 Wins、or 0.02 runs。更具體的說法：在 1-run lead 時將 8th inning man 與 closer 互調，此舉將使得球隊 損失 0.002 wins。以相同的方式計算，在 2-run lead 時將 8th inning man 與 closer 對調的 Expected WE Differential 為 0.0005；3-run lead 時則是 -0.000081。附帶一提，3-run lead 時 negative "Expected WE differential" 的發生，代表 3-run lead 的情況下，8th inning man 所做的事其實比 closer 要 "偉大"。
各位不妨用不同 RA 的 8th inning man 與 closer 的組合來做相同的 approach，基本上其實都差不了太多。而這裡我想說的重點是：
- RA 2.5 的 closer 差不多是全盛時期的 Mo，現今 MLB 恐怕也很難找到幾位這樣的投手。
- 就算給予每一季 50 次的 1-run lead 機會 (實際上的數字可能不到 50 次的 1/3)，用一個 RA 3.0 的投手做 closer 與 RA 2.5 的投手做 closer，其差距大概也只有 1-run、or 0.1 wins (50 * 0.2)。
有興趣的朋友可以再引進 LI 算算看：如果 220+ IP、LI 1.00 的 Santana 拿 annual 23M，那麼 75+ IP、LI 1.50+ 的 "8th inning man 的 Santana" 大約該值多少錢？基本上，這個答案會高得讓人嚇一跳！但相信大家也很快就能發現：根本不可能有球隊願意給一位 8th inning man 如此高的 pay。基於優秀的 8th inning man 與 closer 所造成的勝負差距如此之小的前提，想想各隊願意花大錢去買一個 closer，卻懂得在 8th inning man 上 "節流"....這是不是一種很詭異的矛盾？
另一個 hint：如果 8th inning man 和 closer 可以由自家的農場培養而不是去 FA 市場上燒鈔票，這樣的投資報酬率是不是也相對的高很多呢？
9 comments:
說到最後，我在想DBacks將Brandon Lyon轉為closer的觀點不知道是不是跟隨這種WE差別有限的脈絡？
Btw, I want to double check: Were you able to read my Newsletters?
Hi ~ Morikawa :
您有買 The Book 阿？方便講一下評價嗎，感恩。
Dora,
Lyon 的事 D'Backs 高層如何想我並不清楚，但這個做法絕不能說是錯，而這篇文章裡也透露了另一個訊息：拿 saves 去評斷一個 closer 是多麼不必要的事。
Speaking of FB, I'm the one who should apologize. I think you guys better start without me and surely you can just kick me out of your league!
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Anyway, thanx for your invitation. If I suddenly got free, I would consider re-join.
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Yang,
簡單的說，"The Book" 部分 metrics 是 THT 的 base，也就看不到像 VORP 或是 EQA 這類的數字。
"The Book" (TB) 比較偏向解釋一些球場上決策的 "現象"，像是 batting order、1-run strategy、LOOGY、platoon...etc。廣度而言，它不如 BP 的 "Baseball between the Numbers" (BBTN)，但深度就比 BBTN 要好。話說回來，每一小節的討論幾乎都付有一個小框叫 "The Book Says:"，也就是結論的簡介，如果不想看過程，光看 "The Book Says" 可能也無妨。
在理論推導的方面，TB 在 appendix 的部份提供了不少數學面的 approach，但它沒有用到太難的統計理論，以台灣的教育來講，在大學修過統計學的人應該都看得懂。這是 BBTN 較為欠缺的部份，BBTN 和 BP 的最大缺點是不曉得那些數字是怎麼來的，所以偏向只是給我們一個 "概念"。總的說來，TB 的寫法比較 "硬"。
另外，我記得 "The Book" 有兩本，而我手中的是作者群裡 Tango、MGL 和 A. Dolphin 的那一本。如果想訂，也不要弄錯了。
Hi ~ Morikawa：
感激你的解釋。 :)
另外我讀這段，發現單位是否有需要修改？
"在 01 ~ 04 年之間，天下無敵的 Pedro 每年大約可以提供 200+ IP starting high quality output with annual 13M，也就是 6.5M per IP (Inning Pitched)；至於 Rivera 的則是每年約 75+ IP 的 late-inning high quality output with annual 10M，也就大約是 13M per IP。"
所以...
假設作者的說法成立...
買兩各便宜又好的set up man....
其實是比較實在的...反正效果差不多...
甚至省下來的錢可以多買一支...來預備用..免得有人受傷...
Yang,
謝謝你的提醒，的確是個人用錯單位。再次感謝你。
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Anonymous,
個人引用一段 Moneyball 裡的 quote：
You could take a slightly above-average pitcher and drop him into the closer's role, let him accumulate some gaudy number of saves, and then sell him off. You could, in essence, buy a stock, pump it up with false publicity, and sell it off for much more than you'd paid for it.
這是 Billy Beane 的話，其實是很有道理的。重點在於要求一個投手在一局內出盡全力不要失分，其實並沒有那麼困難，這才是我真正想表達的。
if k=1000
650K=650*1000=650000=0.65M
0.65M*200=130M/yr
am I wrong?
Anonymous,
My bad! Feel free to call me 'knucklehead'.
Anyway, thanx for your correction.
never mind, it's still a good post. :D
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